我在中国垛积术与微积分的比较的文章中引用了朱世杰四元玉鉴中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式n*a/1!+n*(n-1)*b/2!+n*(n-1)*(n-2)*c/3!+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d/4!，现在把它扩展为5次内插公式如下

n*a/1!+n*(n-1)*b/2!+n*(n-1)*(n-2)*c/3!+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d/4!+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*e/5!，公式如图

用上公式求解下图数据的插值函数：

初值y（0）=0。

把上面数据代入原公式得：

其中1/1！为一阶导数*1/1！，30/2！为二阶导数*1/2！，150/3！为3阶导数*1/3！，240/4！为4阶导数*1/4！，120/5！为5阶导数*1/5！，（为什么这里的差商是导数我下一篇文章证明它）。即是牛顿等距插值公式。

证明如下：由于表中是等距取值设t=Δx=n1-n0=1，一阶导数是

那么二阶导数是

其他3、4、5阶导数取得以此类推，原理看我关于高阶导数的文章。

当t-0即是n-n0，n-n1，n-n2.。。。都可以视为n-n0所以

即是泰勒公式

当n0=0时即是麦克劳林公式

以上公式可以有无穷项。

不要说我们祖先没水平，要反省一下你有没有水平。